Étude de Fonctions

Plongez dans l'analyse approfondie des fonctions mathématiques

Exercice 1 : Fonction rationnelle \(f(x) = \frac{(2x² - 3)}{(x - 1)}\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Trouver les zéros de la fonction.

  5. Donner le tableau de variation.

1. Domaine :

La fonction n'est pas définie en \( x = 1 \), donc le domaine est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

2. Asymptotes :

  • Asymptote verticale : \( x = 1 \)
  • Asymptote oblique : \( y = 2x + 2 \)

3. Dérivée :

\( f'(x) = \frac{2x^2 - 4x + 3}{(x - 1)^2} \)

4. Zéros de la fonction :

Le numérateur \( 2x^2 - 3 = 0 \) donne \( x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \).

5. Tableau de variation :

À partir de la dérivée, on peut déterminer que la fonction est croissante pour \( x < 1 \) et \( x > 1 \), avec une discontinuité en \( x = 1 \).

Exercice 2 : Fonction rationnelle \(g(x) = \frac{1}{(x² + 1)}\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Donner le tableau de variation.

1. Domaine :

La fonction est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \), donc le domaine est \( D_g = \mathbb{R} \).

2. Asymptotes :

Aucune asymptote verticale, et l'asymptote horizontale est \( y = 0 \).

3. Dérivée :

\( g'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \)

4. Tableau de variation :

La fonction est décroissante pour \( x > 0 \) et croissante pour \( x < 0 \), avec un maximum en \( x = 0 \) où \( g(0) = 1 \).

Exercice 3 : Fonction rationnelle \(h(x) = \frac{(x + 2)}{(x² - 4)}\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Donner le tableau de variation.

1. Domaine :

La fonction n'est pas définie pour \( x = -2 \) et \( x = 2 \), donc le domaine est \( D_h = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \).

2. Asymptotes :

  • Asymptotes verticales : \( x = -2 \) et \( x = 2 \)
  • Asymptote horizontale : \( y = 0 \)

3. Dérivée :

\( h'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 4}{(x^2 - 4)^2} \)

4. Tableau de variation :

La fonction a des discontinuités en \( x = -2 \) et \( x = 2 \). Elle est décroissante sur \( ]-\infty, -2[ \) et \( ]2, +\infty[ \), et croissante sur \( ]-2, 2[ \).

Exercice 4 : Fonction exponentielle \(f(x) = e^x - x\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Trouver les zéros de la fonction.

  5. Donner le tableau de variation.

1. Domaine :

La fonction est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \), donc le domaine est \( D_f = \mathbb{R} \).

2. Asymptotes :

Il n'y a pas d'asymptotes horizontales ou verticales.

3. Dérivée :

\( f'(x) = e^x - 1 \)

4. Zéros de la fonction :

La fonction est égale à 0 quand \( e^x = x \). Cette équation n'a qu'une solution, approximativement égale à \( 0{,}567143 \).

5. Tableau de variation :

La fonction est décroissante pour \( x < 0 \) et croissante pour \( x > 0 \), avec un minimum en \( x = 0 \).

Exercice 5 : Fonction logarithmique \(g(x) = \frac{ln(x)}{x}\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Trouver les extremums de la fonction.

  5. Donner le tableau de variation.

1. Domaine :

La fonction est définie pour \( x > 0 \), donc le domaine est \( D_g = ]0, +\infty[ \).

2. Asymptotes :

  • Asymptote verticale : \( x = 0 \)
  • Asymptote horizontale : \( y = 0 \) quand \( x \to +\infty \)

3. Dérivée :

\( g'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \)

4. Extremums :

La fonction atteint son maximum en \( x = e \), où \( g(e) = \frac{1}{e} \).

5. Tableau de variation :

La fonction est croissante sur \( ]0, e[ \) et décroissante sur \( ]e, +\infty[ \).

Exercice 6 : Fonction trigonométrique \(f(x) = sin(x) + cos(x)\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier la périodicité de la fonction.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Trouver les extremums de la fonction.

  5. Donner le tableau de variation sur une période.

1. Domaine :

La fonction est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \), donc le domaine est \( D_f = \mathbb{R} \).

2. Périodicité :

La fonction a une période de \( 2\pi \).

3. Dérivée :

\( f'(x) = \cos(x) - \sin(x) \)

4. Extremums :

  • Maximum : \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \)
  • Minimum : \( f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \)

5. Tableau de variation sur \([0, 2\pi]\) :

La fonction est croissante sur \( [0, \frac{\pi}{4}] \) et \( [\frac{5\pi}{4}, 2\pi] \), et décroissante sur \( [\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \).

Exercice 7 : Fonction rationnelle \(f(x) = \frac{(x²-1)}{(x-1)}\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Trouver les extremums de la fonction.

  5. Donner le tableau de variation

1. Domaine :

La fonction est définie pour \( x \neq 1 \), donc le domaine est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

2. Asymptotes et trous :

  • Asymptote verticale : \( x = 1 \)
  • Asymptote oblique : \( y = x + 1 \) lorsque \( x \to \pm \infty \)
  • Trou : à \( x = -1 \), avec \( y = -2 \)

3. Dérivée :

\( f'(x) = \frac{2x(x-1)-(x²-1)}{(x-1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2} \)

4. Zéros de la fonction :

La fonction s'annule quand le numérateur est nul, soit pour \( x = 1 \) (mais ce n'est pas dans le domaine)

5. Tableau de variation :

f'(x) est toujours positive (sauf en x = 1), donc la fonction est strictement croissante sur chacun des intervalles \( ]-\infty,1[ \) et \( ]1,+\infty[ \).

Exercice 8 : Fonction rationnelle \(f(x) = \frac{(x²-4)}{(x²-2x)}\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Trouver les extremums de la fonction.

  5. Donner le tableau de variation

1. Domaine :

La fonction est définie pour \( x \neq 0 \) et \( x \neq 2 \), donc le domaine est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0,2\} \).

2. Asymptotes et trous :

  • Asymptotes verticales : \( x = 0 \) et \( x = 2 \)
  • Asymptote horizontale : \( y = 1 \) lorsque \( x \to \pm \infty \)
  • Trou : Aucun (pas de facteur commun)

3. Dérivée :

\( f'(x) = \frac{4x^3-8x}{(x^2-2x)^2} \)

4. Zéros de la fonction :

La fonction s'annule pour \( x = \pm 2 \) (mais x = 2 n'est pas dans le domaine)

5. Tableau de variation :

La fonction change de sens en x = 0 (asymptote). Elle est décroissante sur \( ]-\infty,0[ \), croissante sur \( ]0,2[ \), et décroissante sur \( ]2,+\infty[ \).

Exercice 9 : Fonction rationnelle \(f(x) = \frac{(x²+2x)}{(x²+1)}\)

  1. Trouver le domaine de définition.

  2. Identifier les asymptotes.

  3. Déterminer la dérivée de la fonction.

  4. Trouver les extremums de la fonction.

  5. Donner le tableau de variation

1. Domaine :

La fonction est définie pour tout réel car le dénominateur ne s'annule jamais. \( D_f = \mathbb{R} \).

2. Asymptotes et trous :

  • Pas d'asymptote verticale
  • Asymptote horizontale : \( y = 1 \) lorsque \( x \to \pm \infty \)
  • Trou : Aucun

3. Dérivée :

\( f'(x) = \frac{(2x+2)(x^2+1) - (x^2+2x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2} \)

4. Zéros de la fonction :

La fonction s'annule pour \( x = 0 \) et \( x = -2 \)

5. Tableau de variation :

La fonction admet un maximum local en \( x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) et un minimum local en \( x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \). Elle est décroissante sur \( ]-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}[ \), croissante sur \( ]\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[ \), et décroissante sur \( ]\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty[ \).